Université de Paris VI Pierre et Marie Curie

Mathématiques, Boite courrier 172.

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Envoi de Charles Marle

Le 14 Novembre 1999

J’ai lu les chapitres 1 et 2 de la thèse de Grichka Bogdanov, intitulés « Domaine

(3,1) < --- > (4.0) des fluctuations de la signature » et « Algèbre de superposition SO(3,1) et SO(4) ». A ma demande, Chrichka Bogdanoff a apporté à sa rédaction initiale des rectifications et des éclaircissements et je n’ai plus maintenant de critique à formuler.

Dans la première partie, Grichka Bogdanov étudie l’espace homogène

SO(3,1) x SO(4)/ SO(3) qui peut être considéré comme espace fibré de deux manières différentes : sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type SO(4) , et sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type SO(3,1). Il en détermine le groupe fondamental.

Dans la seconde partie, Grichka Bogdanoff étudie la topologie de l’espace des orbites de SO(3) (considéré comme le sous-groupe commun SO(3,1) et SO(4) sur R ^3,1 x R ⁴ . Il montre que cet espace est un cône plein. Le travail fait par Grichka Bogdanoff dans ces deux parties présente un certain intérêt sur le plan mathématique. Les conséquences physiques qu’il évoque sont quelque peu en dehors de mes compétences.

Charles-Michel Marle

INTERIM REPORT

by Shahn Majid, November 19, 1999

Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, some more work is still needed. The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before. Although not relating directly to physical predictions at the Planck scale, this is of some mathematical interest and a worthwhile part of the thesis.

In the new version, the premiminary defintions have now been given clearly (modulo some typos to be corrected) at the start. Some of the results have also been clarified. So, definitly there have been positive improvements so far.  I would say, however, that this is not yet the final version of the chapter. In particular there are still a number of interesting and in my opinion viable conjectures and outlined propositions which can and should be made more precise. These include Conjecture 3.3.2 and Proposition 3.4.14 among others. Meanwhile, the style of the more speculative Section 3.5.6 for example has to be relaxed somewhat further in accordance with the level of connection with the physics. When these further improvements have been achieved, which I expect without too much more effort by Bogdanov (compared to the work he has already done) then the value of the chapter and the thesis as a whole would be greatly improved.

I can therefore confirm in this interim report that this is not yet the final version but that the final version should be coming soon. I strongly recommend that G Bogdanov be allowed to proceed to make this final version during the next two or three months.

Dr Shahn Majid

Reader in Mathematics

Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS

REPORT ON THE THESIS OF G.BOGDANOV

Report by Shahn Majid, January 26, 2000

Dear Professor Sternheimer,

I have had a chance to look at the final version of the thesis, particularly Chapter 3 relating to quantum groups. This is the chapter on which I am more expert and can report here. On the other hand, the thesis as a whole does seem to be very much improved from the earlier versions and if this has been confirmed by reports from your other specialists for the other chapters then I think it is now suitable for acceptance as an «Honorable » Doctorate.

Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, the organisation has been improved significantly from the earlier versions. The chapter contains useful algebraic constructions of cocycle Hopf algebras of various kinds motivated from physics.The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before. These cocycle bicrossproduct results, in section 3.3, from a body of original work which could certainly be the basis of a published research paper.

In addition one finds here and in other sections of the chapter some definite and interesting observations concerning these algebraic results and signature change at the Planck scale. While the physics at this scale remains speculative, there is explained in particular a clear relation between the signature change and Hopf algebra duality, thereby connecting it with other dualities in physics. These and other speculations are a worthwhile contribution to the thesis.

Overall, one finds some sound understanding of the extensive litterature on quantum groups and some modest but new algebraic constructions. Provided the reports by specialists on the other chapters of the thesis are equally positive, I would recommend that the thesis should be accepted.

Dr Shahn Majid

Reader in Mathematics

Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS

Date / Wed 26 Janvier 2000 16 :04 :48 GMT To Daniel.Sternheimer@u-bourgogne.fr

Professeur D. Gourevitch

Université de Valenciennes

Cher Professeur D.Sternheimer, Ce message représente mon opinion sur la nouvelle rédaction de la thèse de G. Bogdanoff. Comme auparavant, je me suis concentré sur la partie liée au groupes quantiques (chapitre 3). Ici l’auteur a apporté quatre modifications essentielles :

1. G.Bogdanoff a ajouté une section introductive 3.1 comprenant une série de définitions et de mises au point. Ceci constitue une bonne introduction au chapitre et permet au non spécialiste de se familliariser avec des notions souvent complexes. Il présente des résultats souvent peu connus (par exemple les *-algèbres tressées) de sorte que cette partie permet sans aucun doute une meilleure compréhension du texte principal.

2. L’auteur a accompli sur les sections suivantes un travail très approfondi de remaniement concernant à la fois le fond et la forme de la recherche. Il en résulte des sections entièrement nouvelles (notamment les sections 3.3, 3.4 et 3.5) dans lesquelles G.Bogdanoff fournit une série de démonstrations nouvelles présentées sous des formes complètes et convaincantes.

3. En particulier, à partir des travaux de S. Majid, l’auteur a construit, dans un important théorème de la section 3.3, la forme générale d’un produit bicroisé cocyclique d’un genre nouveau. Cette construction générale lui a permis de réaliser un produit bicroisé « twist » (au sens de Drinfeld) entre les structures d’algèbres de Hopf Lorentziennes et Euclidiennes au sein d’une structure de groupe quantique unique. Incontestablement, l’auteur apporte ici une intéressante contribution théorique.

4. Un autre résultat important est que G.Bogdanoff a mis en évidence que la « semi-dualisation » permet de décrire la transition du groupe q-euclidien vers le groupe q-lorentzien. L’auteur est parvenu à étendre ces résultats aux q-espaces sous-jacents, ce qui permet d’établir une relation entre l’approche algébrique et certaines théories de dualité en physique (notamment la T-dualité de la théorie des cordes).

Le texte comprend nombre d’autres résultats nouveaux. Ceci justifie pleinement que le titre de Docteur ès Mathématiques soit attribué à G.Bogdanoff.

Prof. D.Gourevitch (Université de Valenciennes)

Eric Leichtnam Ecole Normale Supérieure

26 Janvier 2000

A la demande de Daniel Sternheimer, j’ai lu les chapitres 4 et 8 de la thèse de Grichka Bogdanov. Ce dernier a travaillé de nombreuses semaines pour éliminer un certain nombre d’erreurs ou d’incohérences qui apparaissaient dans la première version.

Mon opinion personnelle est qu’il faut considérer ces chapitres 4 et 8 comme un texte de physique. Ces chapitres 4 et 8 ne sont pas des chapitres de mathématiques à mon avis, il ne faut pas les considérer comme tels.
Le propos de l’auteur est d’utiliser certaines notions de la théorie des algèbres d’opérateurs (types I, II et III, flot modulaire, états KMS, flot des poids) pour illustrer et commenter de manière personnelle son modèle :

- A l’échelle zéro : métrique euclidienne

- Entre l’échelle zéro et l’échelle de Planck : coexistent métriques euclidiennes et de Lorentz.

- Au-delà de l’échelle de Planck : métrique de Lorentz.

Ce modèle est, d’après ce qu’on m’a dit, solidement fondé sur la partie « groupes quantiques » de sa thèse.

On passe, dans son modèle, de la métrique euclidienne à celle de Lorentz en complexifiant le temps. L’auteur essaie d’examiner quelle est la traduction de ce phénomène dans le cadre de la théorie des algèbres d’opérateurs. Son idée est qu’à l’échelle zéro on a un facteur II infini, entre l’échelle zéro et Planck on a un facteur III lambda, et au delà de Planck, un facteur I infini.

Ses observations et commentaires sont souvent formulés de manière heuristique et intuitive. La version finale a éliminé un certain nombre d’incohérences qui apparaissaient dans les versions antérieures. Ce texte n’est pas parfait (l’auteur n’a pas l’habitude d’écrire des articles) et certaines de ses notations ou identifications me paraissent bizarres. Mais je pense que maintenant, ce texte est compréhensible dans les grandes lignes à défaut d’être rigoureux.

Il semble que ses commentaires (heuristiques) présentent un intérêt sur le plan physique théorique. En outre il est concevable que certains mathématiciens puissent éventuellement en extraire un jour des résultats rigoureux et intéressants. Sur ce dernier point il peut être intéressant de contacter François Combe, avec lequel l’ auteur s’est entretenu.

Eric Leichtnam

26 Janvier 2000

Costas Kounnas
Ecole Normale Supérieure

CERN

Monsieur le Professeur,

Je vous adresse ci-joint mon rapport complémentaire sur la nouvelle version de la thèse en mathématiques de Monsieur Bogdanov Grichka, intitulée maintenant « Fluctuations Quantiques de la Signature de la Métrique » en vue de la remise de son diplôme de Doctorat de l’Université de Bourgogne.

Selon la décision du jury après la soutenance du 26 Juin 1999, cette thèse doit correspondre à une thèse en mathématiques, comportant des applications possibles en physique sous la forme de conjectures.

Sur la demande du Jury, mon rôle a consisté à examiner l’intérêt physique des conjectures de Mr Bogdanov ainsi que de garantir la nature correcte des raisonnements impliqués.

Dans la nouvelle version de sa thèse, Mr Bogdanov propose deux conjectures probables concernant la physique à l’échelle de Planck, lorsque l’échelle des températures T est de l’ordre de la masse de Planck. Dans ce cadre, les idées conventionnelles sur le début de l’Univers sont considérablement modifiées, particulièrement la notion de singularité initiale.

Partant de la métrique du trou noir linéarisée de la théorie d’Einstein,

ds² = (1 + f ) dx² – (1 - If I dt²

qui est valide pour un potentiel gravitationnel petit f << 1, Mr Bogdanov propose une modification adéquate de la gravitation quantique telle que la solution linéarisée devienne une solution locale exacte de la théorie modifiée aux confins des métriques Euclidienne (1 - If I)< 0 et Lorentzienne (1 - If I)> 0.

La deuxième conjecture concerne un modèle cosmologique fondé sur la transition d’une phase instantonique à quatre dimensions de topologie Euclidienne à une phase monopolaire de dimension cinq, à l’échelle de Planck. Pour une « variété » gravitationnelle à forte courbure

R ( b)>> M ²_(Planck) la signature de l’espace-temps est Euclidienne. Lorsque b = 0, cette théorie décrit une phase qui correspond à une phase topologique dominée par des « instantons de dimension zéro ». L’évolution Euclidienne de la théorie est ici valide jusqu’à R ( b) = M ²_(Planck). Enfin, lorsque R ( b) << M ²_(Planck) et en supposant la compactification de l’une des coordonnées, à l’échelle de Planck, nous entrons dans la phase Lorentzienne conventionnelle d’un univers cosmologique en expansion. Il résulte également de cette compactification une approche proposée par l’auteur de la possible transition effective de la signature sous la forme d’une dualité
isodimensionnelle monople-instanton de dimension quatre.

A mon avis, les deux conjectures formulées par Mr G Bogdanov sont bien fondées, exposant des idées nouvelles qui ont des implications plausibles en cosmologie et dans d’autres phénomènes gravitationnels tels que les trous noirs, les « whorm holes », etc. Au terme de ma lecture de la partie conjecturale en physique, j’ai pu constater que l’exposé ne contient pas de remarques incorrectes.

Je vous prie d’agréer, Monsieure le Professeur, l’expression de mes sentiments distingués.

Costas Kounnas

Ecole Normale Supérieure

CERN