UniversitŽ de Paris VI Pierre et Marie Curie

MathŽmatiques, Boite courrier 172.

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Envoi de Charles Marle

 

 

Le 14 Novembre 1999

 

 

JÕai lu les chapitres 1 et 2   de   la   thse   de   Grichka   Bogdanov,   intitulŽs   Ē Domaine

(3,1) < --- > (4.0) des fluctuations de la signature Č et Ē Algbre de superposition SO(3,1) et SO(4) Č. A ma demande, Chrichka Bogdanoff a apportŽ ˆ sa rŽdaction initiale des rectifications et des Žclaircissements et je nÕai plus maintenant de critique ˆ formuler.

 

  Dans la premire partie, Grichka Bogdanov Žtudie lÕespace homogne

SO(3,1) x SO(4)/ SO(3)  qui peut tre considŽrŽ comme espace fibrŽ de deux manires diffŽrentes : sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type    SO(4) , et sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type SO(3,1).  Il en dŽtermine le groupe fondamental.

 

  Dans la seconde partie,  Grichka Bogdanoff Žtudie la topologie de lÕespace des orbites de SO(3) (considŽrŽ comme le sous-groupe commun SO(3,1) et SO(4) sur R 3,1 x  R . Il montre que cet espace est un c™ne plein.  Le travail fait par Grichka Bogdanoff dans ces deux parties prŽsente un certain intŽrt sur le plan mathŽmatique. Les consŽquences physiques quÕil Žvoque sont quelque peu en dehors de mes compŽtences.

 

Charles-Michel Marle

 

 

 

 

INTERIM REPORT

by Shahn Majid, November 19, 1999

 

 Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, some more work is still needed. The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before. Although not relating directly to physical predictions at the Planck scale, this is of some mathematical interest and a worthwhile part of the thesis. 


In the new version, the premiminary defintions have now been given clearly  (modulo some typos to be corrected) at the start. Some of the results have also been  clarified. So, definitly there have been positive improvements so far.  I would say, however,  that this is not yet the final version of the chapter.  In particular there are still a number of interesting and in my opinion viable conjectures and outlined propositions which can and should be made more precise. These include Conjecture 3.3.2  and Proposition 3.4.14 among others. Meanwhile, the style of the more speculative Section 3.5.6 for example has to be relaxed somewhat further in accordance with the level of connection with the physics.  When these further improvements have been achieved, which I expect without too much more effort by Bogdanov  (compared to the work he has already done) then the value of the chapter and the thesis as a whole would be greatly improved.

 

I can therefore confirm in this interim report that this is not yet the final version but that the final version should be coming soon. I strongly recommend that G Bogdanov be allowed to proceed to make this final version during the next two or three months.

 


Dr Shahn Majid

Reader in Mathematics

Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS

 

 

REPORT ON THE THESIS OF G.BOGDANOV

Report by Shahn Majid, January 26, 2000

 

Dear Professor Sternheimer,

 

I have had a chance to look at the final version of the thesis, particularly Chapter 3 relating to quantum groups. This is the chapter on which I am more expert and can report here. On the other hand, the thesis as a whole does seem to be very much improved from the earlier versions and if this has been confirmed by reports from your other specialists  for the other chapters then I think it is now suitable for acceptance as an ĒHonorable Č Doctorate.

Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, the organisation has been improved significantly from the earlier versions. The chapter contains useful algebraic constructions of cocycle Hopf algebras of various kinds motivated from physics.The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before.  These cocycle bicrossproduct results, in section 3.3, from a body of original work which could certainly be the basis of a published research paper.

 

  In addition one finds here and in other sections of the chapter some definite and interesting observations concerning these algebraic results and signature change at the Planck scale. While the physics at this scale remains speculative, there is explained in particular a clear relation between the signature change and Hopf algebra duality, thereby connecting it with other dualities in physics. These and other speculations are a worthwhile contribution to the thesis.

 

  Overall, one finds some sound understanding of the extensive litterature on quantum groups and some modest but new algebraic constructions. Provided the reports by specialists on the other chapters of the thesis are equally positive, I would recommend that the thesis should be accepted.

Dr Shahn Majid

Reader in Mathematics

Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS

 

 

Date / Wed 26 Janvier 2000  16 :04 :48 GMT To Daniel.Sternheimer@u-bourgogne.fr

 

Professeur D. Gourevitch

UniversitŽ de Valenciennes

 

Cher Professeur D.Sternheimer, Ce message reprŽsente mon opinion sur la nouvelle rŽdaction de la thse de G. Bogdanoff. Comme auparavant, je me suis concentrŽ sur la partie liŽe au groupes quantiques  (chapitre 3). Ici lÕauteur a apportŽ quatre modifications essentielles :

 

1.     G.Bogdanoff a ajoutŽ une section introductive 3.1 comprenant une sŽrie de dŽfinitions et de mises au point. Ceci constitue une bonne introduction au chapitre et permet au non spŽcialiste de se familliariser avec des notions souvent complexes.  Il prŽsente des rŽsultats souvent peu connus  (par exemple les *-algbres tressŽes) de sorte que cette partie permet sans aucun doute une meilleure comprŽhension du texte principal.

 

2.     LÕauteur a accompli sur les sections suivantes un travail trs approfondi de remaniement concernant ˆ la fois le fond et la forme de la recherche. Il en rŽsulte des sections entirement nouvelles (notamment les sections 3.3, 3.4 et 3.5) dans lesquelles G.Bogdanoff fournit une sŽrie de dŽmonstrations nouvelles prŽsentŽes sous des formes compltes et convaincantes.

 

 

3.     En particulier, ˆ partir des travaux de S. Majid, lÕauteur a construit, dans un important thŽorme de la section 3.3, la forme gŽnŽrale dÕun produit bicroisŽ cocyclique dÕun genre nouveau.  Cette construction gŽnŽrale lui a permis de rŽaliser un produit bicroisŽ Ē twist Č (au sens de Drinfeld) entre les structures dÕalgbres de Hopf Lorentziennes et Euclidiennes au sein dÕune structure de groupe quantique unique.  Incontestablement, lÕauteur apporte ici une intŽressante contribution thŽorique.

 

4.     Un autre rŽsultat important est que G.Bogdanoff a mis en Žvidence que la Ē semi-dualisation Č   permet  de  dŽcrire   la  transition  du  groupe q-euclidien  vers  le  groupe q-lorentzien. LÕauteur est parvenu ˆ Žtendre ces rŽsultats aux q-espaces sous-jacents, ce qui permet dՎtablir une relation entre lÕapproche algŽbrique et certaines thŽories de dualitŽ en physique (notamment la T-dualitŽ de la thŽorie des cordes).

Le texte comprend nombre dÕautres rŽsultats nouveaux. Ceci justifie pleinement que le titre de Docteur s MathŽmatiques soit attribuŽ ˆ G.Bogdanoff.

 

 

Prof. D.Gourevitch  (UniversitŽ de Valenciennes)

 

 

Eric Leichtnam  Ecole Normale SupŽrieure

26 Janvier 2000

 

A la demande de Daniel Sternheimer, jÕai lu les chapitres 4 et 8 de la thse de Grichka Bogdanov. Ce dernier a travaillŽ de nombreuses semaines pour Žliminer un certain nombre dÕerreurs ou dÕincohŽrences qui apparaissaient dans la premire version.

Mon opinion personnelle est quÕil faut considŽrer ces chapitres 4 et 8 comme un texte de physique. Ces chapitres 4 et 8 ne sont pas des chapitres de mathŽmatiques ˆ mon avis, il ne faut pas les considŽrer comme tels.
            Le propos de lÕauteur est dÕutiliser certaines notions de la thŽorie des algbres dÕopŽrateurs (types I, II et III, flot modulaire, Žtats KMS, flot des poids) pour illustrer et commenter de manire personnelle son modle :

 

-       A lՎchelle zŽro : mŽtrique euclidienne

-       Entre lՎchelle zŽro et lՎchelle de Planck : coexistent mŽtriques euclidiennes et de Lorentz.

-       Au-delˆ de lՎchelle de Planck : mŽtrique de Lorentz.

 

Ce modle est, dÕaprs ce quÕon mÕa dit, solidement fondŽ sur la partie Ē groupes quantiques Č de sa thse.

 

On passe, dans son modle, de la mŽtrique euclidienne ˆ celle de Lorentz en complexifiant le temps. LÕauteur essaie dÕexaminer quelle est la traduction de ce phŽnomne dans le cadre de la thŽorie des algbres dÕopŽrateurs. Son idŽe est quՈ lՎchelle zŽro on a un facteur II infini, entre lՎchelle zŽro et Planck on a un facteur III lambda,  et au delˆ de Planck, un facteur I infini.

 

Ses observations et commentaires sont souvent formulŽs de manire heuristique et intuitive. La version finale a ŽliminŽ un certain nombre dÕincohŽrences qui apparaissaient dans les versions antŽrieures. Ce texte nÕest pas parfait  (lÕauteur nÕa pas lÕhabitude dՎcrire des articles) et certaines de ses notations ou identifications me paraissent bizarres.  Mais je pense que maintenant, ce texte est comprŽhensible dans les grandes lignes ˆ dŽfaut dՐtre rigoureux.

 

Il semble que ses commentaires (heuristiques) prŽsentent un intŽrt sur le plan physique thŽorique.  En outre il est concevable que certains mathŽmaticiens puissent Žventuellement en extraire un jour des rŽsultats rigoureux et intŽressants.  Sur ce dernier point il peut tre intŽressant de contacter Franois Combe, avec lequel lÕ auteur sÕest entretenu.

 

 

Eric Leichtnam

 

 

 

 

 

26 Janvier 2000

Costas Kounnas
Ecole Normale SupŽrieure

CERN

 

Monsieur le Professeur,

 

Je vous adresse ci-joint mon rapport complŽmentaire sur la nouvelle version de la thse en mathŽmatiques de Monsieur Bogdanov Grichka, intitulŽe maintenant Ē Fluctuations Quantiques de la Signature de la MŽtrique Č en vue de la remise de son dipl™me de Doctorat de lÕUniversitŽ de Bourgogne.


Selon la dŽcision du jury aprs la soutenance du 26 Juin 1999,  cette thse doit correspondre ˆ une thse en mathŽmatiques, comportant des applications possibles en physique sous la forme de conjectures. 

 

Sur la demande du Jury,  mon r™le a consistŽ ˆ examiner lÕintŽrt physique des conjectures de Mr Bogdanov ainsi que de garantir la nature correcte des raisonnements impliquŽs.

 

Dans la nouvelle version de sa thse, Mr Bogdanov propose deux conjectures probables concernant la physique ˆ lՎchelle de Planck, lorsque lՎchelle des tempŽratures T est de lÕordre de la masse de Planck. Dans ce cadre, les idŽes conventionnelles sur le dŽbut de lÕUnivers sont considŽrablement modifiŽes, particulirement la notion de singularitŽ initiale.


Partant de la mŽtrique du trou noir linŽarisŽe de la thŽorie dÕEinstein,

 

  ds2 = (1 + f ) dx2 Š (1 - If I dt2

 

qui est valide pour un potentiel gravitationnel petit  f  << 1,  Mr Bogdanov propose une modification adŽquate de la gravitation quantique telle que la solution linŽarisŽe devienne une solution locale exacte de la thŽorie modifiŽe aux confins des mŽtriques Euclidienne (1 - If I)< 0 et Lorentzienne (1 - If I)> 0.


La deuxime conjecture concerne un modle cosmologique fondŽ sur la transition dÕune phase instantonique ˆ quatre dimensions de topologie Euclidienne ˆ une phase monopolaire de dimension cinq, ˆ lՎchelle de Planck.  Pour une Ē variŽtŽ Č gravitationnelle ˆ forte courbure

R ( b)>> M 2(Planck)  la signature de lÕespace-temps est Euclidienne.  Lorsque  b = 0, cette thŽorie dŽcrit une phase qui correspond ˆ une phase topologique dominŽe par des Ē instantons de dimension zŽro Č. LՎvolution Euclidienne de la thŽorie est ici valide jusquՈ R ( b) = M 2(Planck). Enfin,  lorsque R ( b) <<  M 2(Planck) et en supposant la compactification de lÕune des coordonnŽes, ˆ lՎchelle de Planck, nous entrons dans la phase Lorentzienne conventionnelle dÕun univers cosmologique en expansion.  Il rŽsulte Žgalement de cette compactification une approche proposŽe par lÕauteur de la possible transition effective de la signature sous la forme dÕune dualitŽ
isodimensionnelle monople-instanton de dimension quatre.

A mon avis, les deux conjectures formulŽes par Mr G Bogdanov sont bien fondŽes, exposant des idŽes nouvelles qui ont des implications plausibles en cosmologie et dans dÕautres phŽnomnes gravitationnels tels que les trous noirs, les Ē whorm holes Č, etc.  Au terme de ma lecture de la partie conjecturale en physique, jÕai pu constater que lÕexposŽ ne contient pas de remarques incorrectes.

 

Je vous prie dÕagrŽer, Monsieure le Professeur, lÕexpression de mes sentiments distinguŽs.

Costas Kounnas

Ecole Normale SupŽrieure

CERN