Universit de Paris VI Pierre et Marie Curie
Mathmatiques, Boite courrier 172.
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Envoi de Charles Marle
Le 14 Novembre 1999
JÕai lu les chapitres 1 et 2 de la thse de Grichka Bogdanov, intituls Ē Domaine
(3,1) < --- > (4.0) des fluctuations de la signature Č et Ē Algbre de superposition SO(3,1) et SO(4) Č. A ma demande, Chrichka Bogdanoff a apport sa rdaction initiale des rectifications et des claircissements et je nÕai plus maintenant de critique formuler.
Dans la premire partie, Grichka Bogdanov tudie lÕespace homogne
SO(3,1) x SO(4)/ SO(3) qui peut tre considr comme espace fibr de deux manires diffrentes : sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type SO(4) , et sur la base SO(3,1) / SO(3) avec pour fibre-type SO(3,1). Il en dtermine le groupe fondamental.
Dans la seconde partie, Grichka Bogdanoff tudie la topologie de lÕespace des orbites de SO(3) (considr comme le sous-groupe commun SO(3,1) et SO(4) sur R 3,1 x R 4 . Il montre que cet espace est un cne plein. Le travail fait par Grichka Bogdanoff dans ces deux parties prsente un certain intrt sur le plan mathmatique. Les consquences physiques quÕil voque sont quelque peu en dehors de mes comptences.
Charles-Michel Marle
INTERIM REPORT
by Shahn Majid, November 19, 1999
Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, some more work is still needed. The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before. Although not relating directly to physical predictions at the Planck scale, this is of some mathematical interest and a worthwhile part of the thesis.
In the new version, the premiminary defintions have now been given clearly (modulo some typos to be corrected) at
the start. Some of the results have also been clarified. So, definitly there have been positive
improvements so far. I would say, however, that this is not yet the final version of the chapter. In particular there are still a number
of interesting and in my opinion viable conjectures and outlined propositions
which can and should be made more precise. These include Conjecture 3.3.2 and Proposition 3.4.14 among others.
Meanwhile, the style of the more speculative Section 3.5.6 for example has to
be relaxed somewhat further in accordance with the level of connection with the
physics. When these further
improvements have been achieved, which I expect without too much more effort by
Bogdanov (compared to the work he
has already done) then the value of the chapter and the thesis as a whole would
be greatly improved.
I can therefore confirm in this interim report that this is not yet the final version but that the final version should be coming soon. I strongly recommend that G Bogdanov be allowed to proceed to make this final version during the next two or three months.
Dr Shahn Majid
Reader in Mathematics
Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS
REPORT ON THE THESIS OF G.BOGDANOV
Report by Shahn Majid, January 26, 2000
Dear Professor Sternheimer,
I have had a chance to look at the final version of the thesis, particularly Chapter 3 relating to quantum groups. This is the chapter on which I am more expert and can report here. On the other hand, the thesis as a whole does seem to be very much improved from the earlier versions and if this has been confirmed by reports from your other specialists for the other chapters then I think it is now suitable for acceptance as an ĒHonorable Č Doctorate.
Concerning Chapter 3 relating to quantum groups, the organisation has been improved significantly from the earlier versions. The chapter contains useful algebraic constructions of cocycle Hopf algebras of various kinds motivated from physics.The basic theme is to mix algebraic structures associated to the Euclidean and the Lorentzian signatures into single algebraic constructions. Bogdanov identifies this as constructing certain cocycle Hopf algebras ot a type not seen before. These cocycle bicrossproduct results, in section 3.3, from a body of original work which could certainly be the basis of a published research paper.
In addition one finds here and in other sections of the chapter some definite and interesting observations concerning these algebraic results and signature change at the Planck scale. While the physics at this scale remains speculative, there is explained in particular a clear relation between the signature change and Hopf algebra duality, thereby connecting it with other dualities in physics. These and other speculations are a worthwhile contribution to the thesis.
Overall,
one finds some sound understanding of the extensive litterature on quantum
groups and some modest but new algebraic constructions. Provided the reports by
specialists on the other chapters of the thesis are equally positive, I would
recommend that the thesis should be accepted.
Dr Shahn Majid
Reader in Mathematics
Queen Mary and Westfield College, London, E1 4NS
Date / Wed 26 Janvier 2000 16 :04 :48 GMT To Daniel.Sternheimer@u-bourgogne.fr
Professeur D. Gourevitch
Universit de Valenciennes
Cher Professeur D.Sternheimer, Ce message reprsente mon opinion sur la nouvelle rdaction de la thse de G. Bogdanoff. Comme auparavant, je me suis concentr sur la partie lie au groupes quantiques (chapitre 3). Ici lÕauteur a apport quatre modifications essentielles :
1. G.Bogdanoff a ajout une section introductive 3.1 comprenant une srie de dfinitions et de mises au point. Ceci constitue une bonne introduction au chapitre et permet au non spcialiste de se familliariser avec des notions souvent complexes. Il prsente des rsultats souvent peu connus (par exemple les *-algbres tresses) de sorte que cette partie permet sans aucun doute une meilleure comprhension du texte principal.
2. LÕauteur a accompli sur les sections suivantes un travail trs approfondi de remaniement concernant la fois le fond et la forme de la recherche. Il en rsulte des sections entirement nouvelles (notamment les sections 3.3, 3.4 et 3.5) dans lesquelles G.Bogdanoff fournit une srie de dmonstrations nouvelles prsentes sous des formes compltes et convaincantes.
3. En particulier, partir des travaux de S. Majid, lÕauteur a construit, dans un important thorme de la section 3.3, la forme gnrale dÕun produit bicrois cocyclique dÕun genre nouveau. Cette construction gnrale lui a permis de raliser un produit bicrois Ē twist Č (au sens de Drinfeld) entre les structures dÕalgbres de Hopf Lorentziennes et Euclidiennes au sein dÕune structure de groupe quantique unique. Incontestablement, lÕauteur apporte ici une intressante contribution thorique.
4. Un
autre rsultat important est que G.Bogdanoff a mis en vidence que la
Ē semi-dualisation Č
permet de dcrire la
transition du groupe q-euclidien vers le groupe
q-lorentzien. LÕauteur est parvenu tendre ces rsultats aux q-espaces
sous-jacents, ce qui permet dÕtablir une relation entre lÕapproche algbrique
et certaines thories de dualit en physique (notamment la T-dualit de la
thorie des cordes).
Le texte comprend nombre dÕautres rsultats nouveaux. Ceci justifie pleinement que le titre de Docteur s Mathmatiques soit attribu G.Bogdanoff.
Prof. D.Gourevitch (Universit de Valenciennes)
Eric Leichtnam Ecole Normale Suprieure
26 Janvier 2000
A la demande de Daniel Sternheimer, jÕai lu les chapitres 4 et 8 de la thse de Grichka Bogdanov. Ce dernier a travaill de nombreuses semaines pour liminer un certain nombre dÕerreurs ou dÕincohrences qui apparaissaient dans la premire version.
Mon opinion personnelle est quÕil
faut considrer ces chapitres 4 et 8 comme un texte de physique. Ces chapitres
4 et 8 ne sont pas des chapitres de mathmatiques mon avis, il ne faut pas
les considrer comme tels.
Le
propos de lÕauteur est dÕutiliser certaines notions de la thorie des algbres
dÕoprateurs (types I, II et III, flot modulaire, tats KMS, flot des poids)
pour illustrer et commenter de manire personnelle son modle :
- A lÕchelle zro : mtrique euclidienne
- Entre lÕchelle zro et lÕchelle de Planck : coexistent mtriques euclidiennes et de Lorentz.
- Au-del de lÕchelle de Planck : mtrique de Lorentz.
Ce modle est, dÕaprs ce quÕon mÕa dit, solidement fond sur la partie Ē groupes quantiques Č de sa thse.
On passe, dans son modle, de la mtrique euclidienne celle de Lorentz en complexifiant le temps. LÕauteur essaie dÕexaminer quelle est la traduction de ce phnomne dans le cadre de la thorie des algbres dÕoprateurs. Son ide est quÕ lÕchelle zro on a un facteur II infini, entre lÕchelle zro et Planck on a un facteur III lambda, et au del de Planck, un facteur I infini.
Ses observations et commentaires sont souvent formuls de manire heuristique et intuitive. La version finale a limin un certain nombre dÕincohrences qui apparaissaient dans les versions antrieures. Ce texte nÕest pas parfait (lÕauteur nÕa pas lÕhabitude dÕcrire des articles) et certaines de ses notations ou identifications me paraissent bizarres. Mais je pense que maintenant, ce texte est comprhensible dans les grandes lignes dfaut dÕtre rigoureux.
Il semble que ses commentaires (heuristiques) prsentent un intrt sur le plan physique thorique. En outre il est concevable que certains mathmaticiens puissent ventuellement en extraire un jour des rsultats rigoureux et intressants. Sur ce dernier point il peut tre intressant de contacter Franois Combe, avec lequel lÕ auteur sÕest entretenu.
Eric Leichtnam
26 Janvier 2000
Costas Kounnas
Ecole Normale Suprieure
CERN
Monsieur le Professeur,
Je vous adresse ci-joint mon rapport complmentaire sur la nouvelle version de la thse en mathmatiques de Monsieur Bogdanov Grichka, intitule maintenant Ē Fluctuations Quantiques de la Signature de la Mtrique Č en vue de la remise de son diplme de Doctorat de lÕUniversit de Bourgogne.
Selon la dcision du jury aprs la soutenance du 26 Juin 1999, cette thse doit correspondre une
thse en mathmatiques, comportant des applications possibles en physique sous
la forme de conjectures.
Sur la demande du Jury, mon rle a consist examiner lÕintrt physique des conjectures de Mr Bogdanov ainsi que de garantir la nature correcte des raisonnements impliqus.
Dans la nouvelle version de sa thse, Mr Bogdanov propose deux conjectures probables concernant la physique lÕchelle de Planck, lorsque lÕchelle des tempratures T est de lÕordre de la masse de Planck. Dans ce cadre, les ides conventionnelles sur le dbut de lÕUnivers sont considrablement modifies, particulirement la notion de singularit initiale.
Partant de la mtrique du trou noir linarise de la thorie dÕEinstein,
ds2 = (1 + f ) dx2 Š (1 - If I dt2
qui est valide pour un potentiel gravitationnel petit f << 1, Mr Bogdanov propose une modification adquate de la gravitation quantique telle que la solution linarise devienne une solution locale exacte de la thorie modifie aux confins des mtriques Euclidienne (1 - If I)< 0 et Lorentzienne (1 - If I)> 0.
La deuxime conjecture concerne un modle cosmologique fond sur la transition
dÕune phase instantonique quatre dimensions de topologie Euclidienne une
phase monopolaire de dimension cinq, lÕchelle de Planck. Pour une Ē varit Č
gravitationnelle forte courbure
R ( b)>> M 2(Planck) la signature de lÕespace-temps est
Euclidienne. Lorsque b =
0, cette thorie dcrit une phase qui correspond une phase topologique
domine par des Ē instantons de dimension zro Č. LÕvolution
Euclidienne de la thorie est ici valide jusquÕ R ( b)
= M 2(Planck). Enfin,
lorsque R ( b) << M 2(Planck) et en supposant la
compactification de lÕune des coordonnes, lÕchelle de Planck, nous entrons
dans la phase Lorentzienne conventionnelle dÕun univers cosmologique en
expansion. Il rsulte galement de
cette compactification une approche propose par lÕauteur de la possible
transition effective de la signature sous la forme dÕune dualit
isodimensionnelle monople-instanton de dimension quatre.
A mon avis, les deux conjectures formules par Mr G Bogdanov sont bien fondes,
exposant des ides nouvelles qui ont des implications plausibles en cosmologie
et dans dÕautres phnomnes gravitationnels tels que les trous noirs, les
Ē whorm holes Č, etc. Au
terme de ma lecture de la partie conjecturale en physique, jÕai pu constater
que lÕexpos ne contient pas de remarques incorrectes.
Je vous prie dÕagrer, Monsieure
le Professeur, lÕexpression de mes sentiments distingus.
Costas Kounnas
Ecole Normale Suprieure
CERN